Vecteurs
Vecteurs est une simulation interactive gratuite de StudyFi Lab. Elle fonctionne directement dans le navigateur, sans inscription ni installation.
Additionne, étire et multiplie des vecteurs en 2D et 3D
Expériences
Les bases
Un vecteur a une norme et une direction. On l’écrit avec ses coordonnées a = (a₁ ; a₂ ; a₃) ou avec les vecteurs unitaires des axes : a = a₁i + a₂j + a₃k. Sa norme découle de Pythagore, |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), et le vecteur unitaire â = a / |a| garde la direction avec une longueur 1. Le vecteur qui va du point A au point B est la différence B − A.
Essaie ceci: Fais glisser la pointe jusqu’à (3 ; 4) et vérifie que |a| = 5. Active ensuite « À partir de deux points » et déplace les deux points de la même façon : le vecteur ne change pas.
Addition de vecteurs
Les vecteurs s’additionnent coordonnée par coordonnée : a + b = (a₁ + b₁ ; a₂ + b₂). Sur le dessin, on place b au bout de a (règle du triangle) ou on construit un parallélogramme avec les deux vecteurs : la somme en est la diagonale. La différence a − b est la somme a + (−b), le vecteur qui va de l’extrémité de b à celle de a.
Essaie ceci: Appuie sur « Placer b au bout de a » et regarde le triangle se former. Passe ensuite au parallélogramme et règle b = −a : la somme devient le vecteur nul.
Multiplication par un réel
Le vecteur k·a multiplie chaque coordonnée par k : il est donc sur la même droite que a, les vecteurs sont colinéaires. Sa norme devient |k|·|a|. Pour k > 0 le sens est conservé, pour k < 0 il s’inverse, et k = 0 donne le vecteur nul.
Essaie ceci: Fais passer k de 2 à −2 et regarde la flèche basculer par l’origine tandis que sa longueur reste la même.
Produit scalaire
Le produit scalaire est un nombre : a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ. Il est positif quand les vecteurs forment un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus : a·b = 0 signifie donc que les vecteurs sont orthogonaux. La projection de b sur la direction de a mesure a·b / |a|.
Essaie ceci: Fixe a = (4 ; 1) et cherche un b tel que a·b = 0. Trouves-tu (−1 ; 4) ? Devine toujours le signe d’abord.
Produit vectoriel
Le produit vectoriel a × b est un vecteur orthogonal à la fois à a et à b. Son sens suit la règle de la main droite et sa norme |a × b| = |a|·|b|·sin φ est l’aire du parallélogramme construit sur a et b. Il est nul pour des vecteurs colinéaires, et échanger les facteurs l’inverse : b × a = −(a × b).
Essaie ceci: Règle a = (3 ; 0 ; 0) et b = (0 ; 2 ; 0) : a × b pointe le long de l’axe z avec une norme de 6, comme le rectangle 3 × 2. Incline ensuite b vers a et regarde l’aire diminuer.
Produit mixte
Le produit mixte (a × b)·c est un nombre égal au déterminant formé par les coordonnées de a, b et c. Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs. S’il est nul, le parallélépipède est aplati : les trois vecteurs sont dans un même plan (ils sont coplanaires).
Essaie ceci: Règle c = a − b, soit c = (3 ; −1 ; −1) pour les a et b de départ : le volume tombe à zéro. Augmente ensuite c₃ et regarde le solide se gonfler.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que Vecteurs ?
Vecteurs est une simulation interactive gratuite de StudyFi Lab. Elle fonctionne directement dans le navigateur, sans inscription ni installation. Additionne, étire et multiplie des vecteurs en 2D et 3D
Vecteurs est-il gratuit ?
Oui. Vecteurs est entièrement gratuit. Il fonctionne dans le navigateur sur ordinateur, tablette et téléphone, sans compte.
Que puis-je explorer dans Vecteurs ?
Les bases, Addition de vecteurs, Multiplication par un réel, Produit scalaire, Produit vectoriel, Produit mixte.
Que montre l’expérience « Les bases » ?
Un vecteur a une norme et une direction. On l’écrit avec ses coordonnées a = (a₁ ; a₂ ; a₃) ou avec les vecteurs unitaires des axes : a = a₁i + a₂j + a₃k. Sa norme découle de Pythagore, |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), et le vecteur unitaire â = a / |a| garde la direction avec une longueur 1. Le vecteur qui va du point A au point B est la différence B − A.
Que montre l’expérience « Addition de vecteurs » ?
Les vecteurs s’additionnent coordonnée par coordonnée : a + b = (a₁ + b₁ ; a₂ + b₂). Sur le dessin, on place b au bout de a (règle du triangle) ou on construit un parallélogramme avec les deux vecteurs : la somme en est la diagonale. La différence a − b est la somme a + (−b), le vecteur qui va de l’extrémité de b à celle de a.
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