Derivate e tangenti
Derivate e tangenti è una simulazione interattiva gratuita di StudyFi Lab. Funziona direttamente nel browser, senza registrazione e senza installare nulla.
Tangente, secante e il grafico di f′ della tua funzione
Esperimenti
Retta tangente e derivata
Trascina il punto lungo il grafico di f. La retta tratteggiata è la tangente: tocca la curva in x₀ e ha coefficiente angolare k = f′(x₀). Il grafico in basso raccoglie queste pendenze per ogni x: è la derivata f′(x). Dove f cresce, f′ è positiva; dove decresce, è negativa.
Prova questo: Scegli la funzione cubica e porta il punto dove la tangente è orizzontale. Che valore mostra lì f′ e dove il grafico in basso taglia l’asse x?
Dalla secante alla tangente
Una secante passa per due punti del grafico, x₀ e x₀ + h. La sua pendenza è il rapporto incrementale k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Quando h diminuisce, il secondo punto si avvicina al primo e la secante diventa la tangente: il limite di k(h) per h → 0 è la derivata f′(x₀).
Prova questo: Fai tendere h a 0 (con il cursore o con l’animazione) e osserva come la pendenza della secante nei valori si avvicina a f′(x₀). Prova anche con il seno.
Trova la derivata
In alto c’è una funzione f, in basso tre grafici: solo uno è la sua derivata. Leggi f come una mappa delle pendenze: dove f cresce, f′ sta sopra l’asse x; dove decresce, sotto; in un picco o in una valle f′ passa per zero. Cinque round, ogni volta un tipo di funzione diverso.
Prova questo: Prima di scegliere, trova i punti in cui f ha tangente orizzontale e controlla quale candidato vale zero proprio lì.
Massimi, minimi e flessi
I punti stazionari sono dove f′(x) = 0 e la tangente è orizzontale. Se f′ passa da + a −, f ha un massimo relativo; da − a +, un minimo relativo; se il segno resta lo stesso, è un flesso a tangente orizzontale. Dove f″ cambia segno, la curva passa dalla concavità verso l’alto a quella verso il basso (o viceversa): un punto di flesso.
Prova questo: Classifica ogni «?» sul grafico usando i segni di f′ in basso, poi attiva la classificazione per verificare. Infine imposta la cubica su a = 1, b = 0, c = 0.
Domande frequenti
Che cos’è Derivate e tangenti?
Derivate e tangenti è una simulazione interattiva gratuita di StudyFi Lab. Funziona direttamente nel browser, senza registrazione e senza installare nulla. Tangente, secante e il grafico di f′ della tua funzione
Derivate e tangenti è gratuito?
Sì. Derivate e tangenti è completamente gratuito. Funziona nel browser su computer, tablet e telefono, e non serve un account.
Cosa posso esplorare in Derivate e tangenti?
Retta tangente e derivata, Dalla secante alla tangente, Trova la derivata, Massimi, minimi e flessi.
Che cosa mostra l’esperimento «Retta tangente e derivata»?
Trascina il punto lungo il grafico di f. La retta tratteggiata è la tangente: tocca la curva in x₀ e ha coefficiente angolare k = f′(x₀). Il grafico in basso raccoglie queste pendenze per ogni x: è la derivata f′(x). Dove f cresce, f′ è positiva; dove decresce, è negativa.
Che cosa mostra l’esperimento «Dalla secante alla tangente»?
Una secante passa per due punti del grafico, x₀ e x₀ + h. La sua pendenza è il rapporto incrementale k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Quando h diminuisce, il secondo punto si avvicina al primo e la secante diventa la tangente: il limite di k(h) per h → 0 è la derivata f′(x₀).
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